Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр




НазваниеЛекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр
Дата конвертации28.02.2013
Размер445 b.
ТипЛекция


  • Антюхов В.И.


Тема 4. Модели конечных стратегических игр Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр

  • Учебные вопросы:

  • Матричные игры

  • Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • Принцип минимакса в теории матричных игр



Учебный вопрос 1. Матричные игры

  • Одной из важнейших проблем, стоящих перед сотрудниками МЧС при действиях в чрезвычайных ситуациях(пожарах, землетрясениях, наводнениях, борьбе с терроризмом и т.п.) была, есть и останется проблема выбора наилучшего варианта действий (принятия решений) в условиях неопределенности развития чрезвычайной ситуации



Учебный вопрос 1. Матричные игры

  • В условиях неопределенности развития чрезвычайной ситуации проблема выбора наилучшего варианта действий (принятия решений) как правило, включает ряд подпроблем:

  • - оценку возможных вариантов развития чрезвычайной ситуации;

  • - определение рациональных вариантов использования личного состава и имеемых средств для ликвидации чрезвычайной ситуации;

  • - выбор лучшего (оптимального) варианта использования личного состава и имеемых средств для ликвидации чрезвычайной ситуации с минимумом потерь



Учебный вопрос 1. Матричные игры

  • Следовательно, сотруднику МЧС при управлении ликвидацией чрезвычайной ситуации приходится действовать в условиях конфликта и принимать решения в конфликтной ситуации на основе так называемой теории игр

  • Теория игр – это теория математического моделирования конфликтных ситуаций (прокурор – адвокат, террорист – сотрудник МВД, пожар – сотрудник ГПС МЧС и др.)



Классификация игр

  • Существует большое число классов конфликтных ситуаций, каждому из которых соответствуют определенные методы моделирования

  • При этом необходимо определить в реальном чрезвычайном процессе признаки конфликтной ситуации, по которым она должна быть отнесена к определенному классу игр, т.е. осуществить выбор метода моделирования

  • В теории игр принята их определенная классификация



Классификация игр по числу вариантов действий конфликтующих сторон

  • Стратегические игры, когда действуют не менее двух сторон, каждая из которых выступает со своими наборами вариантов действий (стратегий)

  • Нестратегические игры, когда действует всего одна либо существует коалиция сторон, все участники которой выступают с одним набором вариантов действий



Классификация игр по числу участвующих в конфликтной ситуации сторон

  • Парные игры (участвуют две стороны:

  • - человек – человек;

  • - человек – природа);

  • Множественные игры (участвуют более двух сторон)



Классификация игр по целям действий, которые преследуют стороны

  • Антагонистические игры, когда цели действий сторон прямо противоположны (выигрыш одной стороны – есть проигрыш другой)

  • Неантагонистические игры, когда стороны преследуют различные, но не противоположные цели (выигрыш одной стороны не является в точности проигрышем другой)



Классификация игр по числу возможных вариантов действий в стратегической игре

  • Конечные игры, когда все участвующие стороны имеют конечное число возможных вариантов действий (шахматы, шашки)

  • Бесконечные игры, когда хотя бы одна из сторон имеет бесконечно большое число вариантов действий (теннис, футбол)



Классификация игр по количеству ходов (шагов) для выбора стороной одного из предусмотренных вариантов действий в стратегически конечных и бесконечных играх

  • Одноходовые игры (одношаговые, статические), когда каждая из сторон имеет по одному ходу;

  • Многоходовые игры (многошаговые, динамические), когда каждая из сторон имеет множество ходов, т.е. реализует динамический процесс принятия решений в процессе конфликтной ситуации



Классификация игр по временным особенностям конфликтных ситуаций в многоходовых (динамических) играх

  • Дискретные игры, в которых стороны принимают решения в некоторые дискретные, отстоящие друг от друга моменты времени (ликвидация последствий землетрясения)

  • Непрерывные игры, в которых управление разрешением конфликтной ситуации требует непрерывного выбора вариантов действий (ликвидация пожара на взрывоопасном объекте)



Классификация игр по вероятности окончания многоходовой (динамической) дискретной или непрерывной игры

  • Стохастические игры, когда на каждом ходе с некоторой вероятностью игра может закончиться

  • Рекурсивные игры, когда вероятность прекращения игры может быть равна нулю

  • Дифференциальные игры, это те же рекурсивные игры, но с бесконечным числом состояний и непрерывным временем



Классификация игр по сущности сторон, принимающих участие в конфликтных ситуациях, моделируемых парными антагонистическими играми

  • Игра «человек – человек» («группа людей – группа людей»)

  • Игра «человек – природа» («группа людей – природа»)



Классификация игр по числу ходов в стратегических парных антагонистических конечных играх

  • Матричные игры, которые являются одноходовыми (статическими)

  • Квазиматричные игры, которые являются многоходовыми (динамическими)



Классификация игр

  • Парные неантагонистические игры представлены моделью биматричной игры, являющейся стратегической одноходовой конечной

  • Кроме того, к парным неантагонистическим играм относятся игры «человек – природа», имеющие важное значение именно при ликвидации чрезвычайных ситуаций силами и средствами МЧС



Учебный вопрос 1: Матричные игры

  • Наибольший интерес для принятия решений в конфликтных ситуациях представляют матричные игры, так как:

  • 1) на примере матричных игр наиболее удобно рассмотреть многие понятия и определения теории игр;

  • 2) матричные игры являются составным элементом многих других классов игр;

  • 3) матричные игры имеют хорошо апробированный аппарат и находят широкое применение при моделировании конфликтных ситуаций



Постановка задачи матричной игры

  • 1) пусть имеются две стороны А и В;

  • 2) сторона А имеет m вариантов действий, а сторона Вn вариантов;

  • 3) «выигрыш» стороны А при выборе ею варианта действий Аi, а стороной В – варианта Вj, составляет uij, ;

  • 4) «проигрыш» стороны В в этом случае составляет также uij;

  • 5) сторона А выигрывающая, а В – проигрывающая;

  • 6) стороне А точно известен все варианты возможных действий стороны В и выигрыши uij для каждой из пар вариантов действий (Аi, Вj);



Постановка задачи матричной игры

  • 7) аналогично стороне В точно известен весь возможный набор вариантов действий стороны А и свои проигрыши uij;

  • 8) сторона А и сторона В измеряют «выигрыши» и «проигрыши» одной мерой;

  • 9) неизвестно каждой из сторон какой именно вариант из числа известных выберет другая сторона, но известен принцип, по которому обе стороны выбирают оптимальный для себя план действий



Тезаурус матричных игр

  • Матричные игры базируются на использовании определенного тезауруса (совокупности понятий и определений), в состав которого входят следующие основные понятия и их определения:

  • 1. Стратегия стороны – совокупность правил, определяющих выбор этой стороной варианта действий при каждом личном ходе (сознательном выборе стороной одного из возможных вариантов действий) в зависимости от сложившейся конфликтной ситуации



Тезаурус матричных игр

  • 2. Правила игры – система условий, регламентирующих:

  • - возможные варианты действий (ходов) обеих сторон, участвующих в парной игре;

  • - исход (результат) игры, к которому приводит каждая конкретная совокупность ходов обеих сторон;

  • - объем информации у каждой стороны о ходах другой

  • 3. Случайный ход – выбор стороной одного из возможных вариантов действий с помощью механизма случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды)



Тезаурус матричных игр

  • 4. Игра с нулевой суммой – одна сторона выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другая, т.е. сумма выигрышей сторон ровна нулю

  • 5. Чистая стратегия – совокупность правил, определяющих выбор вариантов действий (последовательности ходов) при каждом личном ходе в зависимости от конфликтной ситуации, сложившейся в процессе игры

  • 6. Оптимальная стратегия – стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает максимально возможный средний выигрыш (минимально возможный средний проигрыш)



Тезаурус матричных игр

  • 7. Цена игры − средний выигрыш стороны А (средний проигрыш стороны В) при применении конфликтующими сторонами своих оптимальных стратегий

  • 8. Смешанная стратегия – стратегия, состоящая в случайном чередовании чистых стратегий, с определенным соотношением частот



Дерево игры, в которой ни одна сторона не знает выбора другой стороны

  • Динамическая игра может быть представлена в виде дерева игры



Динамические (многоходовые) игры

  • На рисунке символы и обозначают, какая именно сторона делает выбор на данном ходе

  • Отрезки с символами а′i, аi″, bj – конкурирующие на данном ходе варианты действий

  • Такую форму формального описания динамической игры называют развернутой

  • Всякая динамическая игра с конечным числом ходов может быть сведена к статической (одноходовой)

  • Поэтому методы решения матричных задач разработаны для одноходовых игр или динамических игр, сведенных к одноходовым



Динамические (многоходовые) игры

  • Для описания динамической (многоходовой) игры как одноходовой считают, что каждая сторона заранее предусматривает все возможные ситуации на каждом ходе игры и определяет совокупность стратегий, используемых в течение всей игры



Динамические (многоходовые) игры

  • Так, на представленном выше рисунке стратегиями стороны А будет выбор на первом и третьем ходах соответственно вариантов: А1 – а1’ и a1”, А2 – а1’ и a2”, А3 – а1’ и a3’’, А4 – а2’ и a1’’ и т.д. до А12 – а4’ и a3’’.

  • Стратегиями стороны В будут В1 – b1 и В2 – b2. Следовательно, динамическая игра сведена к статической

  • При этом для стороны В, имеющей один ход, понятия «стратегия» и «вариант действий» совпадают. Кроме того, ни одна из сторон не знает выбора другой стороны



Динамические (многоходовые) игры

  • В случае, если одна из сторон имеет информацию о выборе стратегий другой стороной, то стратегии первой будут изменяться

  • Пусть стороне В известен выбор стратегии стороной А, т.е. сторона В знает какая пара вариантов действий стороны А имеет место: а1’, а2’ или а3’, а4’

  • Если предположить, что в условиях такой осведомленности сторона В по-прежнему делает выбор между вариантами действий b1 и b2, то число стратегий стороны В, подлежащих рассмотрению, изменится – их будет не две, а четыре:



Динамические (многоходовые) игры

  • Стратегия В1 – использовать вариант действий b1 при любой паре вариантов действий стороны А (а1’, а2’ или а3’, а4’)

  • Стратегия В2 – использовать вариант действий b1, если известно, что сторона А использует один из вариантов действий пары а1’, а2’, или использовать вариант действий b2, если известно, что сторона А использует один из вариантов действий пары а3’, а4’

  • Стратегия В3 – использовать вариант действий b2 при любой паре вариантов действий стороны А (а1’, а2’ или а3’, а4’)

  • Стратегия В4 – использовать вариант действий b2, если известно, что сторона А использует один из вариантов пары а1’, а2’, или использовать вариант b1, если известно, что сторона А использует один из вариантов пары а3’, а4’



Рисунок игры в которой стороне В известен выбор стороны А

  • Дерево игры в этом случае примет вид:



Динамические (многоходовые) игры

  • На представленном рисунке, по отношению к предыдущему, пунктирной линией обведены не все вершины В, а попарно две пары (пунктирной линией принято объединять в одну группу те варианты действий, которые другой стороне невозможно классифицировать)

  • Ясно, что в том случае, когда одной стороне точно известна избранная другой стороной стратегия, игровая задача для нее превращается в задачу оптимизации в условиях полного владения информацией о конфликтной ситуации



Платёжная матрица

  • Исчерпывающую информацию о парной матричной игре дает матрица, называемая платежной матрицей

  • Элементами этой матрицы является выигрыш стороны А (проигрыш стороны В) при соответствующей паре стратегий конфликтующих сторон



Платёжная матрица



Платёжная матрица

  • Элемент платёжной матрицы uij есть выигрыш стороны А (проигрыш стороны В), если сторона А избрала стратегию Ai, i = 1, 2,…, m, а сторона В – стратегию Вj, j = 1,2,…,n

  • Для вычисления значений uij необходимо использовать либо статистические данные, либо специальные математические модели конфликтных ситуаций, разработанные с помощью различных методов исследования операций

  • В результате решения матричной игры определяются оптимальные стратегии (в общем случае оптимальными являются смешанные стратегии) сторон и цена игры



Платёжная матрица

  • Пусть существуют оптимальные смешанные стратегии:

  • - для стороны А – стратегия SA = (p1, p2, …, pi, …, pm);

  • - для стороны В – стратегия SB = (q1, q2, …, qj, …, qn),

  • где pj и qj – вероятности (частоты) применения сторонами А и В своих стратегий Ai и Вj соответственно

  • Если вероятности pi и qj отличаются от нуля, то соответствующие им стратегии Ai и Вj называют активными, а если эти вероятности равны нулю – неактивными



Платёжная матрица

  • При этом всегда выполняются условия:

  • и

  • Использование смешанных стратегий в случае анализа математических моделей конфликтных ситуаций позволяет избежать шаблонного применения какой-либо одной стратегии, позволяющей повысить (понизить) среднее значение выигрыша (проигрыша) сторон



Платёжная матрица

  • Применение же случайного выбора (путем жеребьевки) при большом числе повторений партий игры обеспечивает:

  • 1) оптимальную частость применения полезных стратегий:

  • 2) маскировку от противоборствующей стороны выбора стратегии в очередной партии



Учебный вопрос 2. Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • Формирование математической модели конфликтной ситуации должно осуществляться в два этапа:

  • Этап 1. Описание чрезвычайной конфликтной ситуации

  • Этап 2. Интерпретация чрезвычайной ситуации как того или иного класса конфликтных ситуаций (в терминах теории игр)



Учебный вопрос 2. Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • На этапе 1(описание чрезвычайной конфликтной ситуации) проводятся следующие работы:

  • 1) определяются цели использования сил и средств для разрешения чрезвычайной ситуации;

  • 2) проводится концептуальная формулировка оптимизационной задачи использования сил и средств;

  • 3) выделяются элементы чрезвычайной ситуации, от которых зависит выбор группы методов оптимизации в условиях неопределенности (игра «человек – человек» или игра «человек – природа»);

  • 4) осуществляется формализованная постановка задачи для использования выбранного метода оптимизации



Учебный вопрос 2. Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • На этапе 2 (описание чрезвычайной конфликтной ситуации) проводятся следующие работы:

  • 1) выявляются конфликтующие стороны;

  • 2) определяются цели конфликтующих сторон;

  • 3) определяется полный набор стратегий сторон, их особенности для того, чтобы ответить на вопросы:

  • - является ли данная ситуация одной из разновидностей конечных игр;

  • - имеются ли помимо личных случайные ходы;

  • - является ли матричная игра одноходовой или многоходовой (в последнем случае - как её можно свести к одноходовой);

  • 4) выявляется, не присутствуют ли в изучаемой конфликтной ситуации элементы случайности. Если они есть, то определяется возможность применения для моделирования аппарата стохастических, рекурсивных, дифференциальных игр;

  • 5) определяются способы вычисления выигрышей uij сторон для всех возможных пар стратегий



Учебный вопрос 2. Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • На втором этапе формирования математической модели конфликтной ситуации, кроме того:

  • - в случае конечных игр вычисляются значения uij для всех возможных пар стратегий сторон;

  • - в случае антагонистических игр за uij принимают выигрыши условно принятой выигрывающей стороны, которые одновременно являются характеристиками проигрыша условно принятой проигрывающей стороны

  • Для вычисления uij используют математические модели исследования операций



Учебный вопрос 2. Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • С помощью аппарата теории игр на втором этапе формирования математической модели конфликтной ситуации вычисляют:

  • - среднее значение выигрыша выигрывающей стороны;

  • - среднее значение проигрыша проигрывающей стороны

  • Это среднее значение (математическое ожидание) и является ценой игры



Учебный вопрос 2. Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • Для оптимальной смешанной стратегии матричной игры выражение для вычисления цены игры имеет вид:



Учебный вопрос 2. Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • Достижение цены игры гарантировано сторонам конфликтной ситуации, если стороны придерживаются оптимальных смешанных стратегий и правил выбора активных стратегий в очередной партии игры

  • Если же какая-либо из сторон ведет себя неоптимальным образом, её выигрыш может уменьшиться (проигрыш увеличиться) в пользу другой стороны



Учебный вопрос 2. Технология формирования математической модели чрезвычайной конфликтной ситуации и определение цены игры

  • Для нахождения оптимальных стратегий сторон и цены игры в теории игр используют принцип минимакса

  • Этот принцип лежит в основе методов решения матричных игр



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Если одна из сторон конфликта следует принципу минимакса, то, оценивая целесообразность применения каждой из своих стратегий, она исходит из возможности наиболее неблагоприятного для себя ответного хода противоборствующей стороны

  • Выбранная ею стратегия гарантирует максимально возможный выигрыш (минимально возможный проигрыш) при самой неблагоприятной для нее стратегии противоборствующей стороны



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Пусть, например, сторона В имеет три возможных стратегии (В1, В2, В3), а противоборствующая ей сторона А – четыре (А1, А2, А3, А4)

  • При этом ни одна из сторон не знает о выборе конкретной стратегии противоборствующей стороной

  • Значения uij выполнения стороной А поставленной задачи для различных пар Ai Bj стратегий сторон вычисляются и сведятся в матрицу игры



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Оценивая каждую свою стратегию Ai, сторона А определяет для нее минимально возможный выигрыш αi, для чего просматриваются выигрыши Аij при всех стратегиях стороны:

  • Bj, j = ,

  • т.е. αi = uij



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Сторона А – выигрывающая, она стремится максимизировать свой выигрыш, поэтому она просматривает все выигрыши αi, i = , и выбирает максимальный из них, т.е.:

  • Величину α называют нижней ценой игры или максимином



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Стратегию стороны А, при которой достигается максиминный выигрыш, называют максиминной стратегией

  • Пусть имеется следующая платёжная матрица (см. следующий слайд)



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • В рассматриваемом примере α = 40, а максиминной стратегией является А2

  • Сторона В, выбирая стратегию, поступает аналогично

  • Так как сторона В – проигрывающая, то, исходя из принципа минимакса, она считает необходимым при оценке каждой своей стратегии учитывать возможность такого ответного хода противоборствующей стороны, при котором ее проигрыш будет максимальным



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Поэтому для каждой своей стратегии Bj она ищет максимальный проигрыш, просматривая все стратегии Ai противоборствующей стороны, т.е.:

  • Затем сторона В определяет минимальный из всех максимальных проигрышей, т.е.:



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Значение β называют верхней ценой игры, а соответствующую ей стратегию Вминимаксной стратегией

  • В рассматриваемом примере ß = 0.60, а минимаксной является стратегия В2

  • Следует подчеркнуть, что в рассматриваемом случае всегда ßα



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Рассмотрение максиминной и минимаксной стратегий показывает следующее:

  • 1) применение максиминной стратегии гарантирует стороне А выигрыш не менее, чем α, какие бы стратегии ни принимала сторона В;

  • 2) применение минимаксной стратегии гарантирует стороне В, что ее проигрыш не более, чем ß при любых стратегиях стороны А



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Стремление сторон повысить свой выигрыш и снизить проигрыш делает максиминную и минимаксную стратегии неустойчивыми при наличии у соответствующих сторон информации о поведении противоборствующей стороны



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Например, если стороне А стало известно, что сторона В применяет стратегию В2, то стороне А будет целесообразно вместо стратегии А2 применить стратегию А3, (см.таблицу, представленную ранее)

  • При этом её выигрыш повысится с 0.55 до 0.60



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Если же факт применения стороной А стратегии А3 станет известен стороне В, то ей будет выгодно вместо стратегии В2 применить стратегию В1

  • Это понизит её проигрыш с 0.60 до 0.30



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Существуют также конфликтные ситуации, в которых даже полное знание обеими сторонами поведения друг друга не дает им возможность сменить максиминную (минимаксную) стратегию на другую, т.к. это приведет к снижению эффективности поведения (снижению выигрыша, повышению проигрыша)

  • Пусть имеет место матрица игры, представленная на следующем слайде



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Используя принцип минимакса, можно определить нижнюю и верхнюю цены игры:

  • α = 0,60 и ß = 0,60, т.е α = ß

  • Эта величина является минимальной в строке А3 и максимальной в столбце В2

  • Этот элемент платежной матрицы называют седловой точкой

  • Он и является ценой игры ν, т.к. при наличии седловой точки любая из сторон, отказавшаяся от стратегии на основе принципа минимакса, обязательно потеряет в эффективности, если другая сторона придерживается этой же стратегии



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Такая ситуация называется ситуацией равновесия, т.к. даже наличие у сторон информации о поведении другой стороны не дает им возможности повысить свою эффективность за счёт изменения стратегии



Учебный вопрос 3. Принцип минимакса в теории матричных игр

  • Таким образом, максиминная и минимаксная стратегия при α = ß являются оптимальными стратегиями

  • При этом решение игры осуществляется в чистых стратегиях

  • Доказано также, что игры с полной информацией всегда имеют седловую точку, обладающую устойчивостью, и, значит, обладают решением в чистых стратегиях



Похожие:

Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconЛекция : Парные матричные игры с седловой и без седловой точки
Тема Модели конечных стратегических игр Лекция : Парные матричные игры с седловой и без седловой точки
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconЛекция Понятие модели в науке. Назначение и ограничения моделей. Моделирование в демографии. Связь моделирования с методами, языком и процессами в смежных дисциплинах.
Примеры Классификация моделей. Непрерывные и дискретные модели. Детерминированные и стохастические модели. Макромодели, микромодели....
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconЛекция №2 Введение в компьютерные сети. Классификация. Топология. Коммутация
Интерфейс в широком смысле формально определённая логическая и/или физическая граница между взаимодействующими независимыми объектами....
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconОсновные тенденции развития климатических моделей Основные тенденции развития климатических моделей
Моделирование пузырьковой конвекции в задаче аэрации водоема (Wuest et al., 1992)
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconЛекция 1 «Основные направления применения газовых технологий. Классификация газовых состояний»
«Основные направления применения газовых технологий. Классификация газовых состояний»
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconОсновные характеристики Основные характеристики
Облучая поршневое кольцо нейтронами, вызывают в нем ядерные реакции и делают его радиоактивным. При работе двигателя частички материала...
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconЛекция 3 д т. н., проф., Бандман О. Л
Мелкозернистый параллелизм клеточно-автоматных моделей пространственной динамики Лекция 3
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconЛекция 1 д т. н., проф., Бандман О. Л
Мелкозернистый параллелизм клеточно-автоматных моделей пространственной динамики Лекция 1
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconЛекция 4 д т. н., проф., Бандман О. Л
Мелкозернистый параллелизм клеточно-автоматных моделей пространственной динамики Лекция 4
Лекция : Классификация и основные характеристики моделей конечных стратегических игр iconОсновные характеристики микроспутника
Исследование вспышек электромагнитного излучения в верхней атмосфере Земли (tle transient Light Events), с помощью аппаратуры, регистрирующей...
Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница