1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений




Название1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений
Дата конвертации09.02.2013
Размер445 b.
ТипАнализ


  «Уравнения с двумя неизвестными в целых числах »


Содержание

  • 1.Введение.

  • 2. Диофант и история диофантовых уравнений.

  • 3. Теоремы о числе решений уравнений с двумя переменными.

  • 4. Нахождение решений для некоторых частных случаев.

  • 5. Примеры решений уравнений С6 из ЕГЭ -2010.

  • 6. Заключение.

  • 7. Литература.



Анализ ситуации

  • В этом учебном году одиннадцатиклассникам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике, где КИМы составлены по новой структуре. Нет части «А», но добавлены задания в часть «В» и часть «С». Составители объясняют добавление С6 тем, что для поступления в технический ВУЗ нужно уметь решать задания такого высокого уровня сложности.



Проблема

  • Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.



Цель

  • Уметь решать уравнения с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.



Задачи

  • 1)Изучить учебную и справочную литературу;

  • 2)Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

  • 3)Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида;

  • 4)Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из материалов ЕГЭ-2010 С6.



1. Диофант и история диофантовых уравнений.

  • Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

  • В истории сохранилось мало фактов биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э.



  • Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

  • Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения



2. Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения



Теорема 1

  • Если в уравнении ax+by=1, (a,b)=1, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.



Теорема 2

  • Если в уравнении ax+by=c, (a,b)=d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.



Теорема 3

  • Если в уравнении ax+by=c, (a,b)=d>1 и , то оно равносильно уравнению a1x+b1y=c1, в котором (a1,b1)=1.



Теорема 4

  • Если в уравнении ax+by=c, (a,b)=1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

x=x0c+bt

y=y0c-at

где х0, у0 – целое решение уравнения ax+by=1, t- любое целое число.

3. Алгоритм решения уравнения в целых числах

  • Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax+by=c.

  • 1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b,

если (a,b)=d>1 и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет;

если (a,b)=d>1 и , то

2. Разделить почленно уравнение ax+by=c на d, получив при этом уравнение a1x+b1y=c1, в котором (a,b)=1;

  • 2. Разделить почленно уравнение ax+by=c на d, получив при этом уравнение a1x+b1y=c1, в котором (a,b)=1;

  • 3. Найти целое решение (х0, у0) уравнения a1x+b1y=1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел a и b;

  • 4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где х0, у0 – целое решение уравнения , - любое целое число.

4 .Примеры решений уравнений первой степени двумя переменными ( С6 из ЕГЭ -2010)



Пример №1

  • Решить в натуральных числах уравнение:

, где т>п
  • Решение:

Выразим переменную п через переменную т:

Найдем делители числа 625: т-25 Є{1; 5; 25; 125; 625}

  • Найдем делители числа 625: т-25 Є{1; 5; 25; 125; 625}

  • 1) если т-25 =1, то т=26, п=25+625=650

  • 2) т-25 =5, то т=30, п=150

  • 3) т-25 =25, то т=50, п=50

  • 4) т-25 =125, то т=150, п=30

  • 5) т-25 =625, то т=650, п=26

Ответ: т=150, п=30

т=650, п=26



Пример №2

  • Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т

  • Решение: тп +25 = 4т

  • 1) выразим переменную т через п:

4т – тп =25

т(4-п) =25

т =

найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є {1; 5; 25}

найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є {1; 5; 25}

если 4-п =1, то п=3, т=25

4-п =5, то п=-1, т=5 (посторонние корни)

4-п =25, то п=-21, т=1 (посторонние корни)
  • Ответ: (25;3)



5.Уравнения второй степени с двумя неизвестными



Пример №1

  • 1. Решить уравнение: х2 - у2 =3 в целых числах.

  Решение:
  • 1) Применим формулу сокращенного умножения

х2 - у2=(х-у)(х+у)=3
  • 2) Найдем делители числа 3 = {-1;-3;1;3}

  • 3) Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем:



х-у=1 2х=4 х=2, у=1

х-у=1 2х=4 х=2, у=1

х+у=3

 

х-у=3 х=2, у=-1

х+у=1

 

х-у=-3 х=-2, у=1

х+у=-1

 

х-у=-1 х=-2, у=-1

х+у=-3

2. Решить уравнение: х2+ху=10

  • 2. Решить уравнение: х2+ху=10

  • Решение:

  • 1) Выразим переменную у через х:

  • 2) Дробь будет целой, если х Є {±1;±2; ±5;±10}

  • 3) Найдем 8 значений у.

Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3

x=1, то у=9 х=5, то у=-3

x=-2 ,то у=-3 х=-10, то у=9

x=2, то у=3 х=10, то у=-9



3. Решить уравнение : х3 – у3 =91

  • 3. Решить уравнение : х3 – у3 =91

  • Решение: найдем делители числа 91: {±1; ±7; ±13; ±91}

  Значит, уравнение равносильно совокупности 8 систем.
  • 4.Решить уравнение в целых числах:

2х2 -2ху +9х+у=2

Решение: выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени- в данном случае у: 2х2 +9х-2=2ху-у

выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:
  • Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3.

  • Осталось перебрать эти четыре случая.

Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

5.Найдите все пары ( х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

х2 +у 2< 18х – 20у - 166,

32х - у2 > х2 + 12у + 271
  • Решение: Выделяя полные квадраты, получим:

(х-9)2 + (у+10)2 <15

(х-16)2 + (у+6)2 <21
  • Из первого и второго неравенства системы :

(х-9)2 < 15 6≤ х ≤ 12

(х-16)2 < 21, 12≤ х ≤ 20 , х=12.
  • Подставляя х = 12 в систему, получим:

(у+10)2 < 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(у+6)2 < 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

 

Ответ: (12; -8)

 

Заключение.

  • Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.



Литература.

  • 1)Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике.

  • 2)Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами.

  • 3)Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс.

  • 4)Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт

педагогических измерений.
  • 5)Глейзер Е.И. История математики в школе.

  • 6)Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике.

Решение задач.

 


Похожие:

1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений iconЦель: изучение диофантовых уравнений Цель: изучение диофантовых уравнений
Неизвестных в задаче два число трёхрублёвок (х) и число пятирублёвок (у). Но можно составить только одно уравнение
1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений iconИстория квадратных уравнений
Способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились. Общее правило решения квадратных...
1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений icon«Математическая шкатулка» Занятие №22
Диофант впервые в математике получает возможность записывать уравнения или системы уравнений. Конечно, его записи уравнений нисколько...
1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений iconСпособы решения диофантовых уравнений и их применение для решения экономических задач

1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений iconДиофантовы уравнения
Цели учебно исследовательской работы: изучить способы решения диофантовых уравнений; повысить уровень математической культуры, прививая...
1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений iconРешение систем линейных уравнений. Выполнил кадет 52 учебной группы ткк самарин Иван План: 1 Введение 2 Уравнение и его свойства
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения...
1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений icon1 Египедские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений. 1 Египедские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений
Диофант в основном своем труде «Арифметика» дал решение задач, приводящих к т н диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную...
1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений iconПовторение определений уравнения, системы уравнений, их решений; Повторение определений уравнения, системы уравнений, их решений
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой (система уравнений -это конъюнкция нескольких...
1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений iconДиофант
Диофанта. С другой стороны, сам Диофант в своей работе "О многоугольных числах" дважды упоминает Гипсикла, математика, жившего в...
1. Введение. Диофант и история диофантовых уравнений iconДиофант Александрийский – древнегреческий математик
Из работ Диофанта самой важной является "Арифметика", из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах...
Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница