Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока




НазваниеКонференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока
Дата конвертации05.02.2013
Размер445 b.
ТипУрок


Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”

  • .


Цель урока

  • Создать условия для более глубокого усвоения знаний по теме, высокого уровня обобщения и систематизации знаний.



Методические задачи

  • Выяснить , всякий ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки;

  • Повторить способы построения правильных многоугольников и познакомить с новыми способами;

  • Познакомить с приближенными построениями правильных многоугольников (способы А Дюрера, Биона, Ф.Коваржика);

  • Познакомить с перспективными технологиями и новыми разработками построения правильных многоугольников;

  • Показать применение правильных многоугольников в окружающем нас мире.



Выпуклые и невыпуклые многоугольники

  • Многоугольник- это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

  • Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. На рисунке 1 многоугольник F1 выпуклый, а многоугольник F2 невыпуклый.

  • Многоугольник называется невыпуклым, если прямая, содержащая сторону многоугольника разбивает его на две части. Все треугольники выпуклы, а многоугольники с большим числом сторон могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.



На рисунке 1 представлены правильный треугольник , шестиугольник и четырех угольник.

  • На рисунке 1 представлены правильный треугольник , шестиугольник и четырех угольник.





Великий математик, механик и инженер древности Архимед (греч. Αρχιμήδης, родился 287 до н. э. - 212 до н. э.)

  • Периметр (сумма длин сторон) правильного n-угольника при заданном числе сторон n наиболее близок к длине его описанной окружности среди всех вписанных в нее n-угольников; таким же свойством он обладает и по отношению к вписанной окружности. Поскольку вычисление длины окружности считалось в древности весьма важной задачей, много усилий было затрачено на то, чтобы научиться оценивать периметр вписанной в нее правильного многоугольника при достаточно больших n. Особенно преуспел в этом Архимед.



Евклид ( родился в 330 году до н. э. в небольшом городке Тире, недалеко от  Афин).

  • Впрочем, правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных задолго до Архимеда. Пифагорейцы, в философии которых числа играли главную роль, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, т. е. о построении правильного вписанного многоугольника. В "Началах" Евклида приводятся построения с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон от трёх до шести, а также пятнадцати угольника. Этим последним особенно интересовались: согласно измерениям древних астрономов, угол наклона плоскости эклиптики к экватору равнялся 1/5 полного угла, т.е. 24°(истинное значение чуть меньше -23°27'). Задача о построение правильных многоугольников была полностью решена лишь спустя два тысячелетия.







Основные формулы.

  • Вычисление угла правильного многоугольника :

  • Сторона правильного многоугольника :

  • Площадь правильного

  • многоугольника :

  • Радиус вписанной окружности :



.Применение формул

  • Для правильного треугольника

  • Для правильного четырехугольника

  • Для правильного шестиугольника





Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.

  • Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.

  • Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике

  • На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число.



  • Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:











.

  • .









Приближённые построения правильных многоугольников

  • Приближённые построения правильных многоугольников









Теорема Фалеса

  • И всё же существует единый способ построения правильного n-угольника, в основу которого положена известная вам теорема геометрии. После знакомства с этим способом вам необходимо назвать эту теорему. Для построения многоугольника из 11 равных сторон проведем из точки А под острым углом к отрезку (диаметру) АВ, прямую линию. На ней циркулем-измерителем откладываем нужное число равных отрезков произвольной величины, в данном случае 11. Последнюю точку соединяем с точкой В. Из нечетных точек деления с помощью линейки и угольника проводим прямые, параллельные прямой 11В. Если провести через все точки, то поделим отрезок АВ на 11 равных частей. Сейчас проведем дугу СД радиусом ВА до пересечения с горизонтальной осью. Из точек С и Д будем проводить через точки 1’, 3’,5’ и т.д. лучи до пересечения с окружностью. Соединяем полученные точки на окружности между собой, и таким образом, мы вписали в окружность правильный многоугольник. Какая теорема используется? Теорема Фалеса.





Известно, что простого специального приспособления для графического построения правильных многоугольников с четным или нечетным количеством сторон не имеется. Но если построение правильных многоугольников с четным количеством сторон с применением простых инструментов - циркуля и линейки без делений - не вызывает особых затруднений, то построение правильных многоугольников с нечетным количеством сторон (например, 7 или 9 и более сторон) без специальных сложных устройств весьма затруднено и практически невозможно.

  • Известно, что простого специального приспособления для графического построения правильных многоугольников с четным или нечетным количеством сторон не имеется. Но если построение правильных многоугольников с четным количеством сторон с применением простых инструментов - циркуля и линейки без делений - не вызывает особых затруднений, то построение правильных многоугольников с нечетным количеством сторон (например, 7 или 9 и более сторон) без специальных сложных устройств весьма затруднено и практически невозможно.

  • Предложено простое устройство для графического построения правильных многоугольников как с четным, так и нечетным количеством сторон.

  • Устройство (см.рисунок) представляет собой тонкую прозрачную или непрозрачную полимерную пластинку в виде полукруга с центром в точке Р. Основание полукруга представляет собой ровную линейку без делений. По внешней стороне полукруга с левой стороны нанесены риски с одним и тем же интервалом. Каждая риска обозначена цифрами от 1 до 35 (или кратными последней цифре, например 5, 10, 15 и т.д.). Расстояние между рисками выбрано по величине произвольно. Количество рисок на устройстве определяет максимальное количество сторон для построения правильного многоугольника.

  • С уменьшением расстояния между рисками возможно расположить по контуру полукруга большее количество рисок, что позволит строить правильные многоугольники с большим количеством сторон.

  • На правой стороне полукруга от точки В риской А отделена дуга величиной 60 градусов.





Схема точного построения правильного семиугольника



Схема построения взаиморавных больших и малых радиальных дуг

  • Абсолютная точность данных геометрических построений подтверждается математическими выкладками, а производимая точность самих построений зависит во многом от тщательности работ и точности применяемых инструментов.

  • Действительно, в одном и том же круге равные между собой малые дуги «а» и «в» на его окружности при равных углах a при вершине своих секторов позволяют получить равные между собой большие дуги «А» и «В» на этой же окружности, а, следовательно, и разделить заданную дугу с сумой больших дуг на равные между собой части.

  •  





Петропавловская крепость



Платоновы тела

  • Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. 

  •  Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида.

  •  Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды

  • .Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.







Работы Эшера



Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов

  • Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.



"Порядок и хаос".

  • Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

  • Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.







Похожие:

Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока icon1. Построение циркулем и линейкой. Построение циркулем и линейкой
Построение треугольника по данным углам и отрезку, равному биссектрисе третьего угла
Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconПостроение циркулем и линейкой Окружность
...
Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconДеление угла циркулем и линейкой. Шувалова Ю. Г. – учитель математики
Как вы считаете, какое стандартное построение позволит нам выполнить деление угла на 2, 4, 8, 16, … равных угла?
Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconПостроение правильных многоугольников, то есть деление окружности на равные части, позволяло решать практические задачи

Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconСамостоятельная работа по теме: "площади правильных многоугольников и круга"

Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconУрока : применение движения к решению задач на построение цель урока: рассмотреть решение задач на построение с использованием метода
Верно ли утверждение, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру?
Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconЛекция правильных многогранников
Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, называется
Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconУрок изучения новой темы
Формирование компетенции в построении правильных многоугольников на примере шестиугольника
Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconУрок по теме: «Медь, цинк, хром». Цель урока
Цель урока: обобщить и закрепить знания учащихся о химических элементах: меди, цинке, хроме, об их основных свойствах, об их получении...
Конференция по теме ” Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой ”. Цель урока iconПравильные паркеты. Проект подготовила учащаяся
Выяснить из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить правильный паркет
Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница