Трапеция




НазваниеТрапеция
Дата конвертации06.02.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации


Трапеция


Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции.

  • Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции.

  • Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.



Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.

  • Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.



Теорема

  • Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.



Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой точка М — середина боковой стороны АВ. Проведем через точку М прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает диагональ АС в точке Р, а сторону CD в точке N. Применим следствие из теоремы о средней линии треугольника последовательно к треугольникам ABC и CAD. Согласно этому следствию точка Р — середина стороны АС треугольника ABC. Но тогда согласно тому же следствию точка N — середина стороны CD треугольника ACD. Поэтому отрезки MP и PN являются средними линиями треугольников ABC и ACD, а отрезок MN — средней линией трапеции ABCD. Тем самым доказано, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

  • Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой точка М — середина боковой стороны АВ. Проведем через точку М прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает диагональ АС в точке Р, а сторону CD в точке N. Применим следствие из теоремы о средней линии треугольника последовательно к треугольникам ABC и CAD. Согласно этому следствию точка Р — середина стороны АС треугольника ABC. Но тогда согласно тому же следствию точка N — середина стороны CD треугольника ACD. Поэтому отрезки MP и PN являются средними линиями треугольников ABC и ACD, а отрезок MN — средней линией трапеции ABCD. Тем самым доказано, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

  • Далее, по теореме о средней линии треугольника

  •  MP = ½ BC, PN = ½ AD

  • Следовательно,

  •  MN = MP + PN = ½ (BC + AD)

  • Теорема доказана.



Задача 1

  • Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна с. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеций.

  • Решение. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N — середины сторон АВ, ВС, CD и DA (рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольник KLMN — параллелограмм. Но KL\\AC, LM\\BD, a AC┴BD. Поэтому KL ┴ LM, и, следовательно, параллелограмм KLMN является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны: LN = KM. Отрезок КМ— средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезок LN равен с.



Решение. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N — середины сторон АВ, ВС, CD и DA (рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольник KLMN — параллелограмм. Но KL\\AC, LM\\BD, a AC┴BD. Поэтому KL ┴ LM, и, следовательно, параллелограмм KLMN является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны: LN = KM. Отрезок КМ— средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезок LN равен с.

  • Решение. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N — середины сторон АВ, ВС, CD и DA (рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольник KLMN — параллелограмм. Но KL\\AC, LM\\BD, a AC┴BD. Поэтому KL ┴ LM, и, следовательно, параллелограмм KLMN является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны: LN = KM. Отрезок КМ— средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезок LN равен с.



Задача 2

Доказать, что две трапеции равны, если их стороны соответственно равны.



Решение. Рассмотрим трапеции ABCD и A1B1C1D1 у которых стороны соответственно равны: АВ = А1В1, ВС = В1С1, CD = C1D1, DA = D1A1. Пусть ВС, AD и B1C1 A1D1 — основания этих трапеций. Предположим для определенности, что AD>BC, тогда A1D1> В1С1 (рис. 34). Отметим на отрезках AD и A1D1 соответственно точки Е и Е1 так, чтобы ED = BC и E1D1 = B1C1. Тогда ED = E1D1> и, значит, АЕ = А1Е1, а четырехугольники BCDE и B1C1D1E1 являются параллелограммами (объясните почему). Поэтому BE=CD, B1E1 = C1D1 (противоположные стороны параллелограмма равны), и так как CD = C1D1, то ВЕ — В1Е1. Таким образом, в треугольниках ABE и А1В1Е1 стороны соответственно равны (АВ = А1В1, АЕ = А1Е1, ВЕ = В1Е1), поэтому эти треугольники равны, откуда следует, что ∟ВEA= ∟B 1 E 1 A 1 и ∟BEA = ∟B1E1A1. Но ∟ВЕА = ∟CDА, ∟BEA = ∟C1D1A1, следовательно, ∟CDA = ∟C1D1A1. Тем самым доказано, что в данных трапециях ∟A = ∟A1, ∟D=∟D1. Так как AD\\BC, то из равенства∟A = ∟A1 следует, что ∟В = ∟В1, а из равенства∟D1 = ∟D , что C=C1

  • Решение. Рассмотрим трапеции ABCD и A1B1C1D1 у которых стороны соответственно равны: АВ = А1В1, ВС = В1С1, CD = C1D1, DA = D1A1. Пусть ВС, AD и B1C1 A1D1 — основания этих трапеций. Предположим для определенности, что AD>BC, тогда A1D1> В1С1 (рис. 34). Отметим на отрезках AD и A1D1 соответственно точки Е и Е1 так, чтобы ED = BC и E1D1 = B1C1. Тогда ED = E1D1> и, значит, АЕ = А1Е1, а четырехугольники BCDE и B1C1D1E1 являются параллелограммами (объясните почему). Поэтому BE=CD, B1E1 = C1D1 (противоположные стороны параллелограмма равны), и так как CD = C1D1, то ВЕ — В1Е1. Таким образом, в треугольниках ABE и А1В1Е1 стороны соответственно равны (АВ = А1В1, АЕ = А1Е1, ВЕ = В1Е1), поэтому эти треугольники равны, откуда следует, что ∟ВEA= ∟B 1 E 1 A 1 и ∟BEA = ∟B1E1A1. Но ∟ВЕА = ∟CDА, ∟BEA = ∟C1D1A1, следовательно, ∟CDA = ∟C1D1A1. Тем самым доказано, что в данных трапециях ∟A = ∟A1, ∟D=∟D1. Так как AD\\BC, то из равенства∟A = ∟A1 следует, что ∟В = ∟В1, а из равенства∟D1 = ∟D , что C=C1



Задача 3

  • Биссектрисы равных углов А и С равнобедренного треугольника ABC пересекают боковые стороны треугольника в точках Е и Р соответственно. Докажите, что четырехугольник АРЕС — трапеция с тремя равными сторонами.



Задача 3

    • Решение.
    • PE \\ AC (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника), => ∟PEA = ∟PAE (теорема о накрест лежащих углах), => AP =PE, => в трапеции равны 3 стороны.


Похожие:

Трапеция iconОргина Екатерина Владимировна. Что такое трапеция? Трапеция (от др греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда»)
Трапеция это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие нет
Трапеция iconТрапеция это … Трапеция это …
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон
Трапеция iconТрапеция Немного из истории…
«Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посейдона. В средние века трапецией называли, по Евклиду,...
Трапеция iconРавнобедренная трапеция Брынских Виктории
Трапеция это четырёхугольник, где две стороны параллельны, а две другие не параллельны
Трапеция iconТрапеция трапеция-это четырёхугольник,у которого две стороны параллельны,а две другие стороны не параллельны
Трапеция-это четырёхугольник,у которого две стороны параллельны,а две другие стороны не параллельны
Трапеция iconПриложение Задача. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найти расстояние между серединами ее диагоналей
Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найти расстояние между серединами ее диагоналей
Трапеция iconТрапеция Средняя линия трапеции

Трапеция iconУрок по теме: Трапеция от др греч. τράπέζιου «столик»; τράπεζα «стол, еда» ав|| cd основания ac и bd боковые стороны
Трапеция от др греч. τράπέζιου «столик»; τράπεζα «стол, еда» ав|| cd основания ac и bd боковые стороны
Трапеция iconЛиховид Алексей Дано: abcd-трапеция Найти

Трапеция iconЗамечательная трапеция!!! Работу выполнили ученицы 8б класса гоу сош №223

Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница