Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии




НазваниеСборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии
Дата конвертации11.02.2013
Размер445 b.
ТипСборник задач


Литература

  • Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Элементы линейной алгебра и аналитической геометрии

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия

  • Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии

  • Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии

  • Барышева В.К., Ивлев Е.Т., Пахомова Е.Г. Руководство к решению задач по аналитической геометрии


Глава I. Элементы линейной алгебры

  • Линейная алгебра – часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах



§ 1. Матрицы и действия над ними 1. Определение и некоторые виды матриц

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера mn называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций) и имеющая m строк и n столбцов.

  • Если mn, то матрицу называют прямоугольной.

  • Если mn, то матрицу называют квадратной, порядка n.

  • Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

  • Например, a24 –

  • a13 –



Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij  bij.

  • Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij  bij.



Некоторые частные случаи матриц



Элементы a11, a22, …, akk (где k  min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы.

  • Элементы a11, a22, …, akk (где k  min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы.

  • Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:



5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы.

  • 5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы.

  • Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше) главной или побочной диагонали равны нулю, называются треугольными :



6) Прямоугольную матрицу размера m  n будем называть трапециевидной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:

  • 6) Прямоугольную матрицу размера m  n будем называть трапециевидной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:



2. Линейные операции над матрицами

  • 1) Произведение матрицы на число;

  • 2) Сумма матриц.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(aij) на число  называется такая матрица B=(bij), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы A на число , т.е. bij= ·aij.

  • Обозначают: ·A, A.

  • Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A,

  • Обозначают –A.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера, называется такая матрица C=(cij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера, называется такая матрица C=(cij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .

  • Обозначают: A+B

  • Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B.

  • Обозначают: A–B



Свойства линейных операции над матрицами



3. Нелинейные операции над матрицами

  • 1) Умножение двух матриц;

  • 2) Транспонирование матрицы.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a1i) и B=(bi1) – матрица-строка и матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется число c (т.е. матрица размера 1), равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е.

  • c  a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 + … + a1n · bn1 .



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m  n, B=(bij) – матрица размера n  k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B). Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(cij) размера m  k такая, что каждый ее элемент cij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m  n, B=(bij) – матрица размера n  k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B). Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(cij) размера m  k такая, что каждый ее элемент cij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е.

  • cij  ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj .

  • Обозначают: A ·B, AB.



Свойства операции умножения матриц



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m  n. Матрица размера n  m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается AТ.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m  n. Матрица размера n  m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается AТ.

  • Операция нахождения матрицы AТ называется транспонированием матрицы A.

  • Свойства операции транспонирования матриц



Похожие:

Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconСборник задач по геометрии 7-11. Т. Г. Ходот, И. Д. Захарченко, > А. Б. Михайлова. С-пб. 1998 Справочник по элементарной математике. М. Я. Выгодский. М. 1976
Данный учебно-методический комплекс разработан для учеников 11 класса и предназначен для использования на уроках геометрии
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconПрименение элементов линейной алгебры в экономике Применение элементов линейной алгебры в экономике
«Применение элементов линейной алгебры в экономике» одна из форм научной деятельности студентов, направленная на формирование научного...
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconСборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1990. Трофимова Т. И., Павлова З. Г. Сборник задач по курсу физики с решениями. М.: Высшая школа, 2000, 2012
Предмет физики как основы естественнонаучных знаний. Единицы измерения физических величин. Механика. Кинематика. Динамика
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconКурс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии Дубинина Любовь Яковлевна оглавление
Элементы называют элементами главной диагонали определителя, а другие два элемента соответственно элементами побочной диагонали
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconТехнологии будущего Технологии будущего
Сапр как ее представитель, представляют собой синтез вычислительной геометрии и графического отображения на дисплее аналитической...
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconРешение задач Урок геометрии в 11 классе
Отработка навыков и умений решения простейших задач в координатах и решения задач на скалярное произведение векторов
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconВекторы в пространстве
Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconОб определении вырожденных преобразований н. В. Ефимова ложкин Александр Гермогентович
Целью работы является совершенствование теоретических основ, создание новых методов, моделей, алгоритмов вычислительной геометрии,...
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconСборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1987
Составитель: Никулина Л. С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования
Сборник задач по аналитической геометрии Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии iconЭлементы аналитической геометрии в пространстве мастерство – это то, чего можно добиться. А. С. Макаренко
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой...
Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница