Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна




НазваниеПроект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна
Дата конвертации24.05.2013
Размер445 b.
ТипРешение


Проект по теме «Линейные уравнения»

  • Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна.

  • Выполнила:

  • Воробьёва Алеся Александровна

  • 14лет

  • Ученица 7г класса

  • Средней школы №11


Цели проекта.

  • Донести до ребят что такое линейные уравнения и где они использовались в древности .



Проект по алгебре

  • «Линейные уравнения»



Линейное уравнение.

  • Линейным уравнением с неизвестным х1, х2, … , хn называют уравнение вида а1х1+а2х2+….+аn x n =b : (1)

  • Числа а1,а2,… ,аn называют коэффициентами при неизвестных, число b-свободным членом уравнения



Линейное уравнение с одним неизвестным

  • Линейные уравнения с одним неизвестным умели решать ещё в Древнем Вавилоне и в Египте более 4 тыс. лет назад



Задача.

  • Приведём , например ,задачу из папируса Ринда ( его называют также папирусом Ахмеса) , хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду 2000-1700гг. До. Н. э.: «найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитание от полученной суммы её трети получается число10»



Решение предыдущей задачи.

  • Приведём также задачу Метродора ,о жизни которого ни чего не известно , кроме того , что он автор интересных задач , составленных в стихах.



Диофант

  • Здесь погребён Диофант, и камень могильный При счёте искусном расскажет нам ,

  • Сколь долог был его век.



Задача в стихах

  • Но горе ребёнку ! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный,

  • Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой

  • И умер прожив дня науки. Скажи мне, сколько лет достигнув , смерть воспринял Диофант?



Решение линейного уравнения к предыдущей задачи.

  • 1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х,

  • 14/84х + 7/84х + 12/84х + 42/84х –х = -4-5,

  • 75/84х – х = -9,

  • -9/84х = -9.

  • Х = -9 : (-9/84),

  • Х = 84.

  • Значит, 84 года прожил Диофант



Диофант

    • Сам Диофант много внимания уделял неопределённым уравнениям (так называют алгебраические уравнения или системы таких уравнений с двумя и большим числом неизвестных с целыми ,коэффициентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения ; число неизвестных должно быть больше числа уравнений)


продолжение

  • Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями

  • Правда, Диофант, живший на рубеже 2-3вв., в основном занимался неопределёнными уравнениями более высоких степеней.



Система алгебраических уравнений

  • Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид(1), называют линейной системой. Коэффициенты уравнений , входящих в систему нумеруют обычно двумя индексами ,первый из которых номер уравнения ,а второй(как и в (1)) номер неизвестного.



Система двух линейных уравнений

  • Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

  • a11x1+a12x2=b1,

  • A21x1+a22x2=b2 (3)



Уравнение

  • Умножим первое уравнение системы(3) на а22 и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на а12; аналогично умножим второе уравнение системы(3) на а11и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на а21.



Полученная система

  • (а11а22-а12а21)х2=а11b2-b1а21,

  • (а11а22-а12а21)х1=b1а22-а12b2 ( (4)



Система.

  • После этого получится система: которая есть следствие системы(3). Систему (4) можно записать в виде

  • А*х1=а1

  • А* х2=а



А - определитель матрицы ,составленной из коэффициентами системы (см. определитель),Аi- Определители матриц, получаемых из предыдущей заменой i-го столбца на столбец из свободных членов,i=1,2. далее, если а не равно нулю, то система(5) имеет единственное решение:

  • А - определитель матрицы ,составленной из коэффициентами системы (см. определитель),Аi- Определители матриц, получаемых из предыдущей заменой i-го столбца на столбец из свободных членов,i=1,2. далее, если а не равно нулю, то система(5) имеет единственное решение:



Решение

  • Х1=а1/а,х2=а2/а



Непосредственная подстановка

  • Непосредственной подстановкой проверяется , что эта пара чисел является также и решением системы(3).

  • По такому же правилу ищут решение системы nлинейных уравнений с n неизвестными: если определитель системы а отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причём

  • Х1=аi/a,



Определитель матрицы.

  • Где А- определитель матрицы , получаемой из матрицы , составленной из коэффициентов системы ,заменой в ней i-го столбца на столбец из свободных членов . Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера.(Г. Крамер – швейцарский математик, 1704-1752).



Если а = 0,то должны обращаться в нуль и а1 и а2 (иначе(5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия а=а1=а2=0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например ,если а12не равно 0),то х1 можно взять любым.

  • Если а = 0,то должны обращаться в нуль и а1 и а2 (иначе(5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия а=а1=а2=0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например ,если а12не равно 0),то х1 можно взять любым.



Х любое

  • тогда получается, что,

  • Х2=b1/a12-a11x1/a12



Последняя система.

  • Осталось разобрать случай , когда система имеет вид

  • 0*x1+0*х2=b1

  • 0*x1+0*x2=b2 (5)



Ответ .

  • Для которого ответ очевиден :если b1=b2=0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет.



Практика.

  • На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются . Чаще всего для этих целей, применяют метод Гаусса (см.неизвестных исключение).



Линейное уравнение.

  • Как известно, линейное уравнение а1х1+а2х2=b определяет прямую на плоскости(х1;х2)в случае, когда хотя бы один из коэффициентов а1 и а2 отличен от нуля.



Линейное уравнение.

  • Если мы возьмём на плоскости две прямые то возможны следующие случаи.(рис1)



Прямые .

  • 1)прямые параллельны и не имеют общих точек ,и тогда система не имеет решений;

  • 2)прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение ;

  • 3)прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений.



Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться ,т.е. как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение.

  • Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться ,т.е. как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение.



Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется , если мы возьмём уравнение 0*х1+0*х2=b, где b не равно нулю ,не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых ,то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку ,но, как правило , имеет место первый случай - у прямых нет общей точки.

  • Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется , если мы возьмём уравнение 0*х1+0*х2=b, где b не равно нулю ,не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых ,то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку ,но, как правило , имеет место первый случай - у прямых нет общей точки.



Мотивационный материал.

  • Эта тема понадобится ещё в дальнейшем например в Вузах, в институтах, в техникумах и др. она используется везде и даже в школах в старших классах.



Теоретический курс.

  • Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением .

  • Выражение ,стоящее с лева от знака равенства ,называется левой частью уравнения, а выражение ,стоящее с права от знака равенства, -правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.



Корень уравнения.

  • Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.

  • Решить уравнение- это значит найти все его корни или установить ,что их нет.



Задача.

  • Конверт с новогодней открыткой стоит 17к.

  • Конверт дешевле открытки на 5к.

  • Найти стоимость открытки.



Практическое применение.

  • Уравнение может иметь бесконечно много решений. Например ,уравнение 2(х-1)=2х-2 имеет бесконечно много корней: любое значение х является корнем этого уравнения, так как при любом х левая часть уравнения равна правой части. Уравнение может и не иметь корней.



Похожие:

Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconГо порядка § 25 Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка § 25 Линейные однородные...
Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconЛыткина Надежда Николаевна Лыткина Надежда Николаевна
Формирование поликультурной компетентности в процессе изучения иностранного языка как одно из условий социализации обучающихся
Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconЛинейные уравнения с параметром необходимо привести к виду ax=b. Линейные уравнения с параметром необходимо привести к виду ax=b
В уравнениях с параметром ответ часто почти полностью дублирует решение, но при этом запись ответа обязательна
Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconНаучный руководитель – Блохина Надежда Константиновна Научный руководитель – Блохина Надежда Константиновна
Противоречие: в Москву французы вошли как победители, а через месяц из Москвы вышла уже плохо организованная толпа, искавшая пути...
Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconПараллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат Иванова Надежда Николаевна
Обобщение и систематизация знаний и умений учащихся по данной теме, решение задач с использованием свойств параллелограммов
Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconРуководитель проекта: Руководитель проекта
Заместитель министра Министерства культуры, молодежной политики и массовых коммуникаций
Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconДифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconЛинейные уравнения Выполнила ученица 7 класса

Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconРуководитель проекта: Мешулина Л. Б., Руководитель проекта: Мешулина Л. Б
Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе
Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна iconУрок 6 Линейные дифференциальные уравнения первой степени

Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница