Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики




НазваниеТеория вероятностей Основные понятия комбинаторики
Дата конвертации27.05.2013
Размер446 b.
ТипПрезентации


Теория вероятностей


Основные понятия комбинаторики

  • .



  • Опр. Последовательность

  • элементов называется

  • упорядоченной, если порядок

  • следования элементов в ней задан



  • Опр. Размещением из элементов по

  • элементов наз-ся любое упорядоченное подмножество из элементов множества, состоящего из различных элементов:



Опр. Перестановками из элементов наз-ся любое упорядоченное множество,

  • Опр. Перестановками из элементов наз-ся любое упорядоченное множество,

  • в которое входят по одному разу все различные элементы данного множества:



Опр. Сочетанием из элементов по элементов наз-ся любое подмножество из элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из различных элементов:

  • Опр. Сочетанием из элементов по элементов наз-ся любое подмножество из элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из различных элементов:



СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ



Опр. Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить или не наступить.

  • Опр. Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить или не наступить.

  • Событие обозначается:



ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ



  • Опр. Совокупность  всех

  • элементарных событий в опыте

  • называется пространством

  • элементарных событий.



  • 1. Если множества суть события, то их объединение тоже является событием:



  • 2. Если множество является событием, то его дополнение (до ) тоже является событием:



Опр. Событие называется невозможным в опыте , если при повторении опыта оно никогда не происходит.

  • Опр. Событие называется невозможным в опыте , если при повторении опыта оно никогда не происходит.

  • Ему соответствует пустое подмножество в , которое обозначается .



  • Опр. Событие называется достоверным в опыте , если при повторении опыта оно происходит всегда.

  • Ему соответствует само пространство .



АЛГЕБРА СОБЫТИЙ



  • Опр. Суммой событий и называется событие + , состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий (событию + соответствует объединение подмножеств множества ). Если наступление обозначить“+”, не наступление “-“, то можно составить таблицу для наступления +

  • Если и высказывания, то

  • – соответственно дизъюнкция:





  • Опр. Произведением событий и

  • называется событие , состоящее в

  • одновременном появлении этих

  • событий (событию соответствует

  • пересечение подмножеств.) Если ,

  • высказывания, то - конъюнкция:





Опр. Разностью событий и называется событие , состоящее в том, что событие произойдет, а событие нет.

  • Опр. Разностью событий и называется событие , состоящее в том, что событие произойдет, а событие нет.

  • Опр. Событие называется противоположным событию , если оно считается наступившим тогда и только тогда, когда не наступает.



Диаграммы Венна











ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ



Опр. Пусть при n-кратном повторении опыта событие произошло раз. Частотой события называется отношение

  • Опр. Пусть при n-кратном повторении опыта событие произошло раз. Частотой события называется отношение



Свойства :

  • 1. , так как .

  • 2. , так как .

  • Если и несовместны, причем событие появится раз, событие

  • - раз,то



Опр. (по Колмогорову).

  • Опр. (по Колмогорову).

  • Вероятностью события называется функция удовлетворяющая следующим аксиомам теории вероятностей:

  • 1. Каждому ставится в соответствие неотрицательное число

  • 2. Вероятность достоверного события равна единице =1



3. Для любых несовместных событий

  • 3. Для любых несовместных событий

  • и ( =) справедливо

  • равенство .

  • 4. Для любой убывающей последовательности событий

  • из такой , что  имеет место равенство



СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ

  • 1.

  • 2.

  • 3.Если , то

  • 4.

  • 5.



Теорема. Если , образуют полную группу событий, то

  • Теорема. Если , образуют полную группу событий, то

  • .

  • Теорема. .

  • Теорема. Если событие представимо в виде суммы m благоприятствующих случаев из n, то вероятность такого события равна .



“Геометрические” вероятности.



События - всевозможные измеримые подмножества в .

  • События - всевозможные измеримые подмножества в .

  • ,

  • где мера подмножества



Условная вероятность



Опр. Условной вероятностью события относительно события называется вероятность осуществления события при условии, что событие уже произошло.

  • Опр. Условной вероятностью события относительно события называется вероятность осуществления события при условии, что событие уже произошло.

  • По определению



Пример. Слово “лотос” составлено из одинаковых букв- кубиков. Кубики рассыпаны. Берут наугад один за другим три кубика. Какова вероятность того, что при этом появиться слово “сто”.

  • Пример. Слово “лотос” составлено из одинаковых букв- кубиков. Кубики рассыпаны. Берут наугад один за другим три кубика. Какова вероятность того, что при этом появиться слово “сто”.

  • Решение: - проявиться слово «сто»

  • - первой извлечена “с”

  • - второй извлечена “т”

  • - третьей извлечена “о”



Представим событие в виде:

  • Представим событие в виде:

  • Тогда:



НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ



  • Опр. События и называются

  • независимыми, если ,

  • то есть, –условная

  • вероятность события равна

  • безусловной вероятности.



Правило умножения вероятностей.



Если события и независимы, то

  • Если события и независимы, то

  • Теорема. Если события и независимы, то независимы события и , а также и события и



ЗАМЕЧАНИЯ.

  • Для совместных событий:

  • Для несовместных событий:

  • Для независимых событий:

  • Для зависимых событий:



ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ



  • Предположим, что событие может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий тогда имеет место формула



ФОРМУЛА БАЙЕСА



Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие

  • Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие

  • Сам по себе этот факт ещё не позволяет сказать, какое из событий имело место в проделанном опыте. Можно поставить следующую задачу: найти вероятности



Формула Бернулли



  • где - столько раз проводили опыт;

  • - число появления соб. ;

  • - вероятность появления соб. ;

  • - вероятность не появления соб. ,



  • т.к. и ,

  • то эту формулу можно переписать в виде



Событие произойдет:

  • Событие произойдет:

  • а) менее раз

  • б) не менее раз



  • в) более раз

  • г) не более раз



Наиболее вероятное число успехов



Рассмотрим

  • Рассмотрим



  • Или



Вероятность при больших значениях



Локальная приближенная формула Лапласа ( -велико)





Интегральная формула Лапласа



Формула позволяет найти

  • Формула позволяет найти



Пусть

  • Пусть



Тогда

  • Тогда

  • где



Вероятность того, что частота наступления соб. в опытах отклонится от вероятности соб. не более чем на :



Приближенная формула Пуассона



велико,

  • велико,



Док-во: Воспользуемся формулой Бернулли

  • Док-во: Воспользуемся формулой Бернулли

  • т.к. , то

  • при



Случайные величины



  • Опр. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.



  • Опр. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечно, либо бесконечно, но обязательно счетно.



  • Опр. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.



  • Случайные величины: ;

  • значения: .



Операции над случайными величинами.





Определение.

  • Определение.

  • Суммой случайных

  • величин и называется случайная величина , возможные значения которой есть





  • Опр. Произведением случайных величин и называется случайная величина , возможные значения которой есть





Опр. Произведением случайной величины на постоянную называется случайная величина , возможные значения которой есть

  • Опр. Произведением случайной величины на постоянную называется случайная величина , возможные значения которой есть



Закон распределения случайной величины



  • Опр. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.



  • Закон распределения случайной величины можно задать, как и функцию: табличным, графическим и аналитическим способами.



  • Опр. Две случайные величины наз-ся независимыми, если закон распределения вероятностей одной из них не зависит от того какие возможные значения приняла другая.



Табличный способ



Ряд распределения случайной величины



Пусть

  • Пусть

  • тогда

  • тогда

  • тогда

  • …………………………………

  • тогда



  • По аксиомам вероятности





Графический способ



Многоугольник распределения





Аналитический способ



Функция распределения вероятностей



  • Опр. Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция , задающая вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее , т.е. .



Свойства функции распределения.



1. ;

  • 1. ;

  • Т.к , а

  • 2. - неубывающая функция и для







Т.к.

  • Т.к.



3. Если - функция распределения,

  • 3. Если - функция распределения,

  • то

  • 4.Если - непрерывная случайная величина, то .



  • Если - дискретная случайная величина,

  • то



  • …………………………………………...........







Плотность распределения вероятностей



Пусть -непрерывная случайная величина.

  • Пусть -непрерывная случайная величина.

  • Рассмотрим вероятность попадания значений случайной величины в элементарный участок





  • Опр. Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей наз. первая производная интегральной функции распределения



График дифференциальной функции распределения наз. кривой распределения:

  • График дифференциальной функции распределения наз. кривой распределения:



Свойства плотности распределения вероятности.



1.Для

  • 1.Для

  • 2.Для имеет место равенство

  • 3.

  • 4.



Числовые характеристики случайных величин.



Математическое ожидание.





Опр. Математическим ожиданием

  • Опр. Математическим ожиданием

  • дискретной случайной величины наз.

  • сумма произведений всех возможных

  • значений случайной величины на

  • соответствующие вероятности появления

  • этих значений:



Пусть случайная величина приняла значения

  • Пусть случайная величина приняла значения

  • Причем появилось раз,

  • появилось раз,

  • ……………………….,

  • появилось раз.

  • где



  • При .

  • Тогда .



Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат , называется

  • Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат , называется

  • Если возможные значения принадлежат

  • , то



Свойства математического ожидания



1.

  • 1.

  • 2.

  • 3.Если независимые случайные величины, то

  • 4.Если независимые случайные величины, то

  • 5.



Пример 1.

  • Пример 1.



Пример 2.







Дисперсия

  • Опр. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ от её математического ожидания называют дисперсией СВ :



Если СВ - дискретная СВ, то

  • Если СВ - дискретная СВ, то

  • Если СВ - дискретная СВ, то



  • Среднее квадратическое отклонение



Свойства дисперсии

  • 1.

  • 2.

  • 3.

  • 4.

  • 5.



Опр. СВ называется центрированной:

  • Опр. СВ называется центрированной:

  • Опр. СВ называется стандартной:



Опр. Начальным моментом порядка СВ называется

  • Опр. Начальным моментом порядка СВ называется

  • Опр. Центральным моментом порядка СВ называется



Опр. Коэффициентом асимметрии наз-ся величина :

  • Опр. Коэффициентом асимметрии наз-ся величина :



Опр. Эксцессом наз-ся величина

  • Опр. Эксцессом наз-ся величина



Виды распределения



Равномерное распределение







Нормальное распределение





  • Если СВ ~ , то



  • Если СВ ~ , то



  • Обозначим , тогда



Пусть

  • Пусть



Правило «трёх сигм»: если СВ распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от её по абсолютной величине практически не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.

  • Правило «трёх сигм»: если СВ распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от её по абсолютной величине практически не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.

  • Если СВ ~ , т.е.

  • СВ - стандартная, то



Биномиальное распределение





Распределение Пуассона





Закон больших чисел



Неравенство Чебышева



Пусть имеется СВ с математическим ожиданием и дисперсией . Каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху числом

  • Пусть имеется СВ с математическим ожиданием и дисперсией . Каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху числом



  • Если СВ , для которой существует математическое ожидание , может принимать только неотрицательные значения(т.е. ), то вероятность того, что принятое ею значение окажется не меньше 1, не превосходит числа



Следствие

  • Следствие



Теорема Чебышева



Пусть имеется бесконечная последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

  • Пусть имеется бесконечная последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

  • Тогда каково бы ни было положительное число



Похожие:

Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconТеория вероятностей Основные понятия комбинаторики
...
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconТеория вероятностей на егэ по математике
Для решения заданий B10 в варианте егэ понадобятся самые основные понятия теории вероятностей
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconЭлементы комбинаторики и теория вероятностей
Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр...
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconЭлементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей понятие и примеры случайных событий; понятие и примеры случайных событий;...
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconЗадача де Мере. Основные понятия теории вероятностей
Теория вероятностей, как наука, зародилась в середине XVII века в романтическое время. Вероятностные закономерности впервые были...
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconСтохастическая линия в школьном курсе математики Из истории 1899 год-значение теории вероятностей и комбинаторики в школе
В. А. Болотова «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной...
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconЛекция 2 Повторение теории вероятностей и математической статистики
Теория вероятностей. Случайные величины Теория вероятностей. Дискретные случайные величины
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconАлгебра логики Основные понятия
Не имея специального математического образования, в 1849 стал профессором математики в Куинс-колледже в Корке (Ирландия), где преподавал...
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconОсновные понятия теории вероятностей Базовые понятия теории вероятности
Под опытом понимается воспроизведение некоторого комплекса условий. При этом предполагается, что опыт может быть повторен сколько...
Теория вероятностей Основные понятия комбинаторики iconТеория вероятностей и статистика 9 класс Глава 12. Числовые характеристики случайных величин
Для введения понятия «математическое ожидание случайной величины» необходимо разобрать задачу п. 53
Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница