Предмет исследования. Предмет исследования




НазваниеПредмет исследования. Предмет исследования
Дата конвертации17.02.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации



Предмет исследования.

  • Предмет исследования.

  • Предметом исследования в работе являются различные задачи на применение интеграла такие как:

  • нахождение площади фигуры

  • нахождение объема тела вращения

  • работа силы

  • Гипотеза.

  • Умениие интегрировать – это не только навык в вычислении интеграла, но и умение применить эти знания к решении ряда прикладных задач. В работе мы рассмотрели три различные задачи на применение интеграла. Основной целью мы ставили не столько показать теоретический материал, который можно почерпнуть и из учебника, сколько разобрать некоторые практические задачи, показать способ их решения, дать графическое сопровождение задачи, что позволяет более точно представить объект исследования и быстро найти необходимый путь решения. В каждой теме мы привели несколько задач от более простой к более сложной и постарались проиллюстрировать их. Мы считаем, что такой набор задач удобен при изучении применения интеграла, а графическое сопровождение задачи делает ее не только более простой при решении, но и более интересной, ведь достаточно часто трудно найти решение еще и потому, что нет четкого представления того объекта той фигуры, которую необходимо рассмотреть.





Понятие интеграл непосредственно связно с интегральным исчислением – разделом математики, занимающемся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением, интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

  • Понятие интеграл непосредственно связно с интегральным исчислением – разделом математики, занимающемся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением, интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

  • Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.

  • Метод исчерпывания – это набор правил для вычисления площадей и объемов, разработка которых приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения этого метода исчерпывания славился Архимед.



Кризис и упадок древнего мира привел к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в 17 веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница, положивших основу современного математического анализа.

  • Кризис и упадок древнего мира привел к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в 17 веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница, положивших основу современного математического анализа.

  • Ньютон заложил основы дифференциального и интегрального исчисления за десять лет до того, как это же сделал великий немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц. Ньютон назвал свое исчисление «методом флюксий». Главная идея заключалась в том, чтобы рассматривать интегрирование функции ( нахождение площади по кривой) как операцию, обратную дифференцированию ( нахождение наклона касательной к кривой в каждой точке). Взяв за основу операцию дифференцирования, Ньютон нашел простые аналитические способы расчетов, заменившие множество путанных и сложных методов, применявшихся при нахождении площадей, объемов, длин кривых, максимумов и минимумов. Даже несмотря на то, что Ньютон не сумел обосновать свои методы вычислений ( это было сделано только в 19 веке), они получили широкое признание, как мощное средство решения задач чистой математики и физики.

  • Из Англии доходили туманные слухи об удивительных открытиях молодого Ньютона до Лейбница. Тогда он решил: это надо увидеть своими глазами! Но контакт с Ньютоном не состоялся, и Лейбниц вернулся домой с твердым намерением открыть все факты и методы математического анализа самостоятельно, в одиночку. Этот труд занял 10 лет. Лейбниц меньше, чем Ньютон, думал о нуждах теоретической физики, а больше об удобной системе обозначений для новых математических понятий. В этой сфере успех Лейбница бесспорен: сейчас мы пользуемся понятиями дифференциала и интеграла, производной и первообразной функции в таком виде, как их определил Лейбниц. Применение наступило только после смерти Ньютона и Лейбница- когда новое поколение математиков перешло к решению новых проблем.



Функция y = F(x) называется первообразной для функции y = f(x) на заданном числовом промежутке I, если для всех значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, выполняется равенство: F’(x) = f(x).

  • Функция y = F(x) называется первообразной для функции y = f(x) на заданном числовом промежутке I, если для всех значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, выполняется равенство: F’(x) = f(x).

  • Любая первообразная на заданном промежутке имеет вид: F(x)+ C, где F(x) – некоторая первообразная, а C- произвольная константа ( постоянная).

  • Множество всех первообразных функции y = f(x) на заданном числовом промежутке I называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается F(x) + C = ∫ f(x) dx. Выражение f(x) dx называется подынтегральным выражением, а функция f(x) – подынтегральной функцией.

  • Процесс нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием функции f(x).









Решение. Искомая площадь, как видно из чертежа, состоит из двух площадей AOD и BOC, расположенных по разные стороны оси Ох.

  • Решение. Искомая площадь, как видно из чертежа, состоит из двух площадей AOD и BOC, расположенных по разные стороны оси Ох.

  • В промежутке значений х от 0 до 2 функция у=х^3 положительна, поэтому площадь AOD вычисляем по формуле (1)

  • 2 2

  • SAOD= ∫ x^3dx = | x^4/4 = 2^4/4 = 4

  • 0 0

  • В промежутке значений х от -1 до 0 функция у=х3 отрицательна, поэтому по формуле (2) имеем:

  • 0 0

  • SBOC= │∫ x^3dx│= │| x^4/4│=│-1/4│ = 1/4

  • -1 -1

  • Таким образом, вся искомая площадь

  • S= SAOD + SBOC = 4 ¼











  • Решение: Находим координаты вершины. x= 1/4; y= 17/8

  • 3 3

  • S= ∫ ( 2x^2 – x + 2) dx = (2x^3/3 – x^2/2 + 2x) | = 18 – 9/2 +6 = 19,5

  • 0 0



  • Применение интеграла для нахождения объема.



  • Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая, что для любой плоскости, перпендикулярной данной прямой, известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х(х принадлежит [ а;b ]) поставлено в соответствие единичное число S(x) – площадь сечения тела этой плоскостью. Имеется функция S(x) , заданная на отрезке [ а;b ].

  • Если функция S(x) непрерывна на отрезке [ а;b ], то справедлива формула

  • b

  • V = ∫ S(x) dx.

  • a

  • Тело, полученное вращением криволинейной трапецией, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [ а;b ] функции, отрезками прямых x = a и x = b и отрезком [ а;b ] оси Ох, имеет объем, выражающийся по формуле:

  • b b

  • V = ∫ пf^2(x) dx = п ∫ f^2 (x) dx.

  • a a

  • Действительно, плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [ а;b ] этой оси в точке х, дает в сечении круг радиуса f(x). Соответственно, площадь сечения равна площади круга радиуса f(x) :S(x) = = пf^2 (x).





  • b

  • Решение: V = π ∫ f(x) dx

  • а

  • 3 3

  • V = π ∫ ( -x +3) dx = π ( - x2/2 +3x)| = π ( 9 – 9/2 – 0) = 4,5π

  • 0 0









Находим приделы интегрирования:

  • Находим приделы интегрирования:

  • x2 +1 = 2

  • x = +/- 1

  • V = Vц – V1

  • 1

  • V1= π ∫ ( x2 +1)dx = π ( 1/3 + 1 –( -1/3 – 1))= 8π/3

  • -1

  •  

  • Vц = πR2h = π 22 2 = 8π

  • V= 8π – 8π/3



Пусть S, пройденный телом путь за время t в прямолинейном движении с постоянной скоростью v, определяется по формуле S = vt.

  • Пусть S, пройденный телом путь за время t в прямолинейном движении с постоянной скоростью v, определяется по формуле S = vt.

  • Если тело движется неравномерно, то скорость его меняется в зависимости от времени t, т.е. V = f(t).

  • Чтобы найти в этом случае путь тела за время от t = t1 до t = t2, разделим промежуток времени t1- t2 на n равных частей и очень малых частей ∆t. путь тела за время ∆t найдется по формуле(1) и будет приближенно равен f(t)∆t, а за время t2 – t1 путь его

  • t2

  • S ≈ ∑ f (t) ∆t.

  • t1

  • Будем увеличивать число делений n, тогда ∆t, а также и скачки в изменении скорости в конце каждого промежутка ∆t будут все меньше и меньше. Если n → ∞, то ∆t→ 0, а следовательно, и f(t) ∆t→ 0. При этом условии скорость тела меняется уже не скачкообразно, а непрерывно, и путь его будет равен:

  •   t2 t2

  • S= lim∑ f(t) ∆t = ∫ f(t) dt.

  • ∆t→ 0 t1 t1



1) Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле

  • 1) Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле

  • v= 9.8 t м/сек.

  • Какой путь пройдет тело за первые 10 сек падения?

  • Найти формулу пути падающего тела в пустоте, если скорость его падения

  • v= gt м/сек.

  • 2) Скорость тела определяется по формуле

  • v=(3t2 -2t) см\сек. Какой путь тело пройдет за 5 сек. от начала движения?

  • Скорость движения тела v=( 4t – 6/t2) см\сек. определить путь его за третью секунду.

  • 3) Два тела начинают движение одновременно из одной и той же точки одно со скоростью v=3t2м\мин, другое со скоростью v= 2t м\мин. На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 мин., если они движутся по прямой в одном направлении.



Пусть тело движется по прямой линии под действием постоянной силы F; тогда работа А, совершенная этой силой на пройденном пути, равном х, найдется по формуле A = Fx, где х выражается в метрах, F – в килограммах, а А – в килограммометрах.

  • Пусть тело движется по прямой линии под действием постоянной силы F; тогда работа А, совершенная этой силой на пройденном пути, равном х, найдется по формуле A = Fx, где х выражается в метрах, F – в килограммах, а А – в килограммометрах.

  • Но если движение тела происходит под действием переменной силы, то ее работа определяется сложнее. Выведем формулу для этого случая.

  • Допустим, что тело, находящееся в точке О в состоянии покоя, начинает двигаться по прямой линии действием переменной силы F, изменяющееся в зависимости от пройденного пути х, т.е. F = f(x).

  • Пусть в некоторые моменты времени тело оказалось в точках А и В, причем ОА = a и ОВ = b.

  • Покажем, как определить работу, совершаемую данной силой на отрезке пути АВ = b – a.



Для этого разобьем его на n равных и очень малых отрезков ∆х. Положим, что на каждом отрезке ∆х сила остается постоянной, изменяясь скачком в конце каждого отрезка ∆х. Тогда работа силы на отрезке пути ∆х будет приближенно равна f(x)∆x;работа же силы на всем пути AB = b – a.

  • Для этого разобьем его на n равных и очень малых отрезков ∆х. Положим, что на каждом отрезке ∆х сила остается постоянной, изменяясь скачком в конце каждого отрезка ∆х. Тогда работа силы на отрезке пути ∆х будет приближенно равна f(x)∆x;работа же силы на всем пути AB = b – a.

  • Таким образом, работа вычисляется по формуле

  • b

  • A = ∫ f(x) dx.

  • a



1)Сила в 6кг растягивает пружину на 8см. Какую работу она производит?

  • 1)Сила в 6кг растягивает пружину на 8см. Какую работу она производит?

  • 2)Вычислить работу, производимую при сжатии пружины на 4см., если для сжатия ее на 1см нужна сила в 1кг.

  • 3)Пружина растягивается на 6см под действием силы в 3кг. Какую работу она производит, растягивая ее на 10см?

  • 4)Найти работу, производимую при сжатии пружины на 3см, если известно, что для сжатия ее на 0.5см нужно приложить силу в 1 кг.

  • 5)Сила в 6 кг достаточна, чтобы растянуть пружину на 2см. первоначальная длина пружины 14см. какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20см?

  • 6)Растягивая пружину на 4см, произвели работу в 10кгм. Какая работа будет произведена при растяжении пружины на 10см?

  • 7)Чтобы растянуть некоторую пружину на 2см, нужно произвести работу в 20кгм. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу в 80кгм?

  • 8)Пружина в спокойном состоянии имеет длину 20см. груз в 10кг растягивает ее на 2.5см какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от длины в 25см до длины в 35см?



 

  •  

  • Приведенные в работе задачи раскрывают более широкий круг задач, решаемых с помощью интеграла, повышают интерес к изучаемой теме. А подбор задач с необходимыми для решения иллюстрациями можно использовать как методическое пособие при изучении данной темы.



Похожие:

Предмет исследования. Предмет исследования iconПортфолио Истоки родного села Новоурусовка Структура проекта
Введение: выбор темы исследования, актуальность, объект, предмет исследования, цель и задачи, методы исследования
Предмет исследования. Предмет исследования icon1. предмет и задачи науки о языке
Предмет и задачи науки о языке языкознание наука о развитии языка, об общественной природе, о выполняемых функциях и о классификации...
Предмет исследования. Предмет исследования iconГиа в3 Подготовила: Попова Галина Николаевна, учитель русского языка и литературы Формулировка задания
Что делает предмет? Каков предмет? Что с ним происходит? Кто такой предмет? Что такое предмет?
Предмет исследования. Предмет исследования iconОт сферы к плоскости
Предмет исследования: изображение территорий государств и других объектов на картах
Предмет исследования. Предмет исследования iconУрок № тема
«Биология: предмет, задачи, методы исследования. Связь с другими науками. Значение биологии»
Предмет исследования. Предмет исследования iconПредмет исследования
Реакция среды растворов моющих средств для стирки тканей ручным способом
Предмет исследования. Предмет исследования iconСпецифика астрономических данных Предмет исследования
Экспериментатор и теоретик зачастую не связаны между собой; явления переменны; данные не обесцениваются
Предмет исследования. Предмет исследования iconТема исследования
...
Предмет исследования. Предмет исследования iconТема проекта: «Госпожа симметрия». Автор: Андреева Людмила 8 класс
Организовать экскурсию в лес для исследования растений и животных на предмет симметрии
Предмет исследования. Предмет исследования iconВлияние мультипликации на детей младшего школьного возраста
Предмет исследования: изменения в поведении младших школьников, под воздействием просмотра мультипликационных фильмов
Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница