Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники.




НазваниеВозможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники.
Дата конвертации18.02.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации





Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил достаточно точную оценку числа π.

  • Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил достаточно точную оценку числа π.



Китайский математик Чжан Хэн во II веке уточнил значение числа π, предложив два его эквивалента:

  • Китайский математик Чжан Хэн во II веке уточнил значение числа π, предложив два его эквивалента:

  • 1) 92/29 ≈ 3,1724…; 2) ≈ 3,1622



В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416.

  • В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416.

  • Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления π с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для π по следующему принципу:



До II тысячелетия было известно не более 10 цифр π. Дальнейшие крупные достижения в изучении π связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить π с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов:

  • До II тысячелетия было известно не более 10 цифр π. Дальнейшие крупные достижения в изучении π связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить π с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов:

  • Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к π очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда.



Мадхава смог вычислить π как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа π, из которых 16 верные.

  • Мадхава смог вычислить π как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа π, из которых 16 верные.

  • Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа π с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».



Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета (англ. Viète's formula), найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом стала формула Валлиса, выведенная Джоном Валлисом в 1655 году

  • Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета (англ. Viète's formula), найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом стала формула Валлиса, выведенная Джоном Валлисом в 1655 году



В Новое время для вычисления π используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

  • В Новое время для вычисления π используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

  • Первую эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин (англ. John Machin)



Разложив арктангенс в ряд Тейлора можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа π с большой точностью. Эйлер, автор обозначения π, получил 153 верных знака.

  • Разложив арктангенс в ряд Тейлора можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа π с большой точностью. Эйлер, автор обозначения π, получил 153 верных знака.

  • Формулы такого типа, в настоящее время известные как формулы Мэчина (англ. Machin-like formula), использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления π в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Дазе (англ. Johann Dase), который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр π в уме. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом (англ. William Shanks), у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков π.



Работу выполнила

  • Работу выполнила

  • Батырбаева Айгерим,

  • ученица 8а класса

  • СШ№22 г.Костаная



Похожие:

Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconПравильные многоугольники Правильный многоугольник
Возможно, оно намеренно зашифровано в размерах Пирамиды Хеопса, причем с более точным значением, чем его знал великий Архимед, живший...
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconПравильные многоугольники определение правильного многоугольника
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны вписанная и описанная...
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconИзучить правильные многоугольники и Изучить правильные многоугольники и
Изучить правильные многоугольники и Изучить правильные многоугольники и многогранники
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconПирамида Савухиной Олеси 11 «б»
Правильная пирамида является правильной, если в ее основании лежат правильные многоугольники, а основания высоты совпадает с центром...
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconПравильные многогранники
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое...
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconПравильные многогранники (тела Платона) Правильные многогранники (тела Платона)
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани- равные правильные многоугольники,и в каждой его вершине сходится...
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconПравильные многогранники Определение
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится...
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconПравильные многогранники Понятие правильного многогранника
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится...
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. iconСтудент группы У04-04 Баламутенко Алексей Содержание История возникновения идеи
Р. Фейнман выдвинул предложил использовать квантовые вычисления для ряда операций
Возможно, он первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. icon10. 02. 12 Классная работа. Правильные многоугольники

Разместите кнопку на своём сайте:
dok.opredelim.com


База данных защищена авторским правом ©dok.opredelim.com 2015
обратиться к администрации
dok.opredelim.com
Главная страница